整理一下数列极限和函数极限的知识。
数列极限
定义
设$\,{x_n}\,$为一数列,若存在常数$\,a\,$,对任意的$\,\varepsilon>0\,$,总存在正整数$\,N\,$,使得当$\,n>N\,$时,$\left|x_n - a\right|<\varepsilon$恒成立,则称数$\,a\,$是数列$\,\left{x_n\right}\,$的极限,或者称数列$\,\left{x_n\right}\,$收敛于$\,a\,$,记为:
如果不存在这样的数$\,a\,$,就说数列$\,\left{x_n\right}\,$是发散的。
常用语言:$\lim{n\to\infty}x_n=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in N+$,当$\,n>N\,$时,恒有$\left|x_n - a\right|<\varepsilon$。
用定义法证明数列极限
- 先写距离:$\left|x_n-a\right|<\varepsilon$
- 反解:$n>g(\varepsilon)$
- 取$\,N=[g(\varepsilon)]+1$
这种方法也叫$\,\varepsilon-N\,$定义法。
定理
- 若数列$\,\left{an\right}\,$收敛,则其任何子列$\,\left{a{nk}\right}\,$也收敛,且$\lim{k\to \infty}a{n_k}=\lim{n\to\infty}a_n$。
- 唯一性:给出数列$\,\left{xn\right}\,$,若$\lim{n\to\infty}x_n=a$(存在),则$\,a\,$是唯一的。
- 有界性:若数列$\,\left{x_n\right}\,$极限存在,则数列$\,\left{x_n\right}\,$有界。
- 保号性:设数列$\,\left{a_n\right}\,$存在极限$\,a\,$,且$\,a>0\,$(或$\,a<0\,$),则存在正整数$\,n\,$,当$\,n>N\,$时,有$\,a_n>0\,$(或$\,a_n<0\,$)。0\,$),则存在正整数$\,n\,$,当$\,n>
- 如果数列$\,\left{an\right}\,$从某项起有$a_n\ge0$,且$\lim{n\to\infty}a_n=a$,则$a\ge0$。
夹逼准则
如果数列$\,\left{x_n\right}\,$,$\,\left{y_n\right}\,$和y$\,\left{z_n\right}\,$满足下列条件
①$yn\le x_n\le z_n (n=1,2,3,\cdots)$;②$\lim{n\to\infty}yn=a$,$\lim{n\to\infty}z_n=a$。
则数列$\,\left{xn\right}\,$的极限存在,且$\lim{n\to\infty}x_n=a$
单调有界准则
单调有界数列必有极限,即若数列$\,\left{xn\right}\,$单调增加(减少)且有上界(下界),则$\lim{n\to\infty}x_n$存在。
函数极限
邻域
一维
领域:以点$\,x_0\,$为中心的任何开区间称为点$x_0$的邻域,记作$U(x_0)$。
$\delta$邻域:设$\,\delta\,$是一正数,则称开区间$\,(x_0-\delta , x_0+\delta)\,$为点$\,x_0\,$的$\,\delta\,$邻域,记作$U(x_0,\delta)$,即
其中点$\,x_0\,$称为邻域的中心,$\,\delta\,$称为邻域的半径。
去心$\,\delta\,$邻域:定义去心邻域$\mathring{U}(x_0, \delta):\mathring{U}(x_0, \delta)=\left{x|0<\left|x-x_0\right|<\delta\right}$。
左、右$\,\delta\,$邻域:$\left{x|0<x-x_0<\delta\right}$称为点$\,x_0\,$的右$\,\delta\,$邻域,记作$U^+(x_0,\delta)$;$\left{x|0<x_0-x<\delta\right}$称为点$\,x_0\,$的左$\,\delta\,$邻域,记作$U^-(x_0,\delta)$。
二维
$\delta$邻域:设$\,P_0(x_0,y_0)\,$是$\,xOy\,$平面上的一个点,$\delta\,$是某一正数。与点$\,P_0(x_0,y_0)\,$的距离小于$\,\delta\,$的点$\,P(x,y)\,$的全体,称为点$\,P_0\,$的$\,\delta\,$邻域,记作$\,U(P_0,\delta)\,$,即
或者
去心$\,\delta\,$邻域:点$\,P_0\,$的去心$\,\delta\,$邻域,记作,即$\,\mathring{U}(P_0,\delta),\mathring{U}(P_0,\delta)=\left{P|0<\left|PP_0\right|<\delta\right}$。如果不需要强调邻域的半径$\,\delta\,$,则用$\,U(P_0)\,$表示点$\,P_0\,$的某个邻域,点$\,P_0\,$的去心邻域记作$\,\mathring{U}(P_0,\delta)\,$。
$\,\delta\,$邻域的几何意义:$U(P_0,\delta)$表示$\,xOy\,$平面上以点$\,P_0(x_0,y_0)\,$为中心,$\,\delta>0\,$为半径的圆的内部的点$\,P(x,y)\,$的全体。
定义
设函数$\,f(x)\,$在点$\,x_0\,$的某一去心邻域内有定义,若存在常数$\,A\,$,对于任意给定的$\,\varepsilon>0\,$(不论它多么小),总存在正数$\,\varepsilon\,$,使得当$\,0<\left|x-x_0\right|<\varepsilon\,$时,对应的函数值$\,f(x)\,$都满足不等式$\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$,则$\,A\,$就叫做函数$\,f(x)\,$当$x\to x_0$时的极限,记为
写成$\,\varepsilon-\delta\,$语言
对于$\,x \to \infty\,$时的极限,其$\,\varepsilon-X\,$语言为:
单侧极限
当$\,x\to x_0^-\,$时,$\,f(x)\,$无限接近于常数$\,A\,$,则常数$\,A\,$叫做函数$\,f(x)\,$叫做函数$\,f(x)\,$当$x\to x_0$时的左极限,记为
当$\,x\to x_0^+\,$时,$\,f(x)\,$无限接近于常数$\,A\,$,则常数$\,A\,$叫做函数$\,f(x)\,$叫做函数$\,f(x)\,$当$x\to x_0$时的右极限,记为
函数极限存在的充要条件
性质
- 唯一性:如果极限$\,\lim_{x\to x_0}f(x)\,$存在,那么极限唯一。
- 局部有界性:如果$\,\lim_{x\to x_0}f(x)=A\,$,则存在正常数$\,M\,$和$\,\delta\,$,使得当$\,0<\left|x-x_0\right|<\delta\,$时,有$\left|f(x)\right|\le M$.
- 局部保号性:如果$\,f(x)\to A(x\to x_0)\,$,$\,A>0\,$(或$\,A<0\,$),那么存在常数$\delta>0$,使得当$\,0<\left|x-x_0\right|<\delta\,$时,有$f(x)>0$(有$f(x)<0$)0\,$),那么存在常数$\delta>
- 如果$f(x)\ge0 \ Or \ \le0 \ (x\to x0)$且$\lim{x\to x_0}f(x)=A$,则$\,A\ge0 \ Or \ \le 0\,$。
洛必达法则
法则一
有如下条件下
- 当$\,x\to a\,$或$\,x\to \infty\,$时,函数$\,f(x)\,$及$\,F(x)\,$都趋近于零;
- $f’(x)\,$及$\,F’(x)\,$在点$\,a\,$的某去心邻域内(或当$\,\left|x\right|>X\,$,此时$\,X\,$为充分大的正数)存在,且$F’(x)\ne 0$;
- $\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$(或$\lim{x\to\infty}\frac{f’(x)}{F’(x)}$存在或无穷大)
则有$\lim{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$(或者$\lim{x\to \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim{x\to \infty}\frac{f’(x)}{F’(x)}$)
法则二
有如下条件下
- 当$\,x\to a\,$或$\,x\to \infty\,$时,函数$\,f(x)\,$及$\,F(x)\,$都趋近于无穷大;
- $f’(x)\,$及$\,F’(x)\,$在点$\,a\,$的某去心邻域内(或当$\,\left|x\right|>X\,$,此时$\,X\,$为充分大的正数)存在,且$F’(x)\ne 0$;
- $\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$(或$\lim{x\to\infty}\frac{f’(x)}{F’(x)}$存在或无穷大)
则有$\lim{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$(或者$\lim{x\to \infty}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim{x\to \infty}\frac{f’(x)}{F’(x)}$)
注
一般而言,洛必达法则时用于计算$\,\frac{0}{0}\,$型或者$\,\frac{\infty}{\infty}\,$型未定式极限的,不是$\,\frac{0}{0}\,$型或者$\,\frac{\infty}{\infty}\,$型,就不能使用洛必达法则。
如果极限$\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$仍属于$\,\frac{0}{0}\,$型或者$\,\frac{\infty}{\infty}\,$型,且$f’(x),F’(x)$继续满足洛必达法则的条件,可以继续使用洛必达法则,即$\lim{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}=\lim{x\to a}\frac{f’’(x)}{F’’(x)}$。
如果极限$\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$不存在也不为$\,\infty\,$,不能推出$\lim{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}$不存在也不为$\,\infty\,$,简单一点说就是
对于$\lim{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim{x\to a}\frac{f’(x)}{F’(x)}$,右存在,则左存在;但左存在,右不一定存在。
泰勒公式
重要的泰勒公式
当$\,x\to 0\,$时
泰勒公式的应用
(1) $\frac{A}{B}$型,适用于上下同阶原则。
如果分母(或分子)是$\,x\,$的$\,k\,$次幂,则应该把分子(或分母)展开到$\,x\,$的$\,k\,$次幂,可称为“上下同阶原则”。
(2) $A-B$型,适用于幂次最低原则。
将$A,B$分别展开到它们的系数不相等的$\,x\,$的最低次幂为止。
海涅定理(归结原则)
设$f(x)$在$U(x_0,\delta)$内有定义,则
$\lim{x\to x_0}f(x)=A$存在$\ \Leftrightarrow \ $对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$\,x_0\,$为极限的数列$\,\left{x_n\right}(x_n\ne x_0)\,$,极限$\lim{n\to \infty}f(x_n)=A$存在。
无穷小比阶
无穷小定义
如果当$x\to x_0$(或$x\to\infty$)时,函数$\,f(x)\,$极限为0,那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$(或$x\to\infty$)时的无穷小,记为
特别地,以零为极限的数列$\,\left{x_n\right}\,$称为$n\to\infty$时的无穷小。
无穷大定义
如果当$x\to x_0$(或$x\to\infty$)时,函数$\,\left|f(x)\right|\,$无限增大,那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$(或$x\to\infty$)时的无穷大,记为
无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一变化过程中,如果$f(x)$为无穷大,则$\frac{1}{f(x)}$为无穷小;反之如果$f(x)$为无穷小,且$f(x)\ne 0$,则$\frac{1}{f(x)}$为无穷大。
无穷小比阶
设在自变量的同一变化过程中,$\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=0$,且$\beta(x)\ne0$,则
- 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$,则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$高阶无穷小,记为$\alpha(x)=o(\beta(x))$;
- 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$,则称$\alpha(x)$是比$\beta(x)$低阶无穷小;
- 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c\ne0$,则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小;
- 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$,则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小,记为$\alpha(x)\sim\beta(x)$;
- 若$\lim\frac{\alpha(x)}{\left[\beta(x)\right]^k}=c\ne0$,则称$\alpha(x)$是$\beta(x)$k阶无穷小。
无穷小运算规则
有限个无穷小的和是无穷小。
有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
有限个无穷小的乘积是无穷小。
无穷小的运算:
设$m,n$为正整数,则
- $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=min\left{m,n\right}$(加减法时,低阶吸收高阶);
- $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$(乘法时阶数累加);
- $o(x^m)=o(kx^m)=k\cdot o(x^m),k\ne0$且为常数(非零常数相乘不影响阶数)。
常用的等价无穷小
当$x\to 0$时,常用的等价无穷小有:
使用的时候一般都要做广义化:可将$\,x\,$替换为趋向于0的函数。
函数的连续和间断
连续点的定义
设函数$\,f(x)\,$在点$\,x0\,$的某一邻域内有定义,且有$\,\lim{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\,$,则称函数$\,f(x)\,$在点$\,x_0\,$处连续。
间断点的定义与分裂
以下设函数$\,f(x)\,$在点$\,x_0\,$的某去心邻域内有定义。
可去间断点
若$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\ne f(x_0)$($\,f(x)\,$甚至可以无定义),则这类间断点称为可去间断点,也可以被称为可补间断点。
跳跃间断点
若$\lim{x\to x_0^-}f(x)$与$\lim{x\to x0^+}f(x)$都存在,但$\lim{x\to x0^-}f(x)\ne\lim{x\to x_0^+}f(x)$,则这类间断点称为跳跃间断点。
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。
无穷间断点
若$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$,则这类间断点称为无穷间断点,如函数$y=\frac{1}{x}$的点$x=0$处为无穷间断点。
震荡间断点
若$\lim_{x\to x_0}f(x)$震荡不存在,则这类间断点称为震荡间断点,如函数$y=\sin{\frac{1}{x}}$在点$x=0$处没有定义,且当$x\to 0$时,函数值在-1和1这两个数之间交替震荡,极限不存在,故点$x=0$为函数$y=\sin{\frac{1}{x}}$的震荡间断点。
无穷间断点和震荡间断点都属于第二类间断点。